前言：
本案例介绍如何使用PML（Phoenix建模语言）轻松构建出多种对S形曲线及进行拟合的模型。
使用的数据：
数据取自由Heyes和Brown的报告的叶子的生长数据（1956）。
含水量对距离散点图如下，可以看到生成的图形是S形的:
目的：
使用下述的一系列S形模型拟合数据：
◆ Logistic(逻辑分布累计分布曲线)使用下述的一系列S形模型拟合数据：
◆ Gompertz(戈珀兹曲线)
◆ Weibull(韦伯分布累计分布曲线)
◆ Richards(Richards增长曲线)
◆ Morgan-Mercer-Flodin
◆ Hill(希尔方程)
通过该案例展示Phoenix Model操作对象在参数名称和方程方面的灵活性。
◆ 为方便起见, 所有模型都参数化α, β, γ, δ。
具体模型的介绍与实现：
1.Logistic模型和方程
特点：
◆ Logistic模型是简单的S形模型。
◆ 下渐近线为0，上渐近线为Y的最大值.
◆ 该模型关于拐点是对称的。
◆ 应该用于模拟拐点大约是最大Y的1/2的过程。
方程：
3个参数：
◆ α=曲线中Y的最大值
◆ β=曲线的中点
◆ γ=曲线的陡度
对应的PML代码：
2. Gompertz模型和方程
特点：
◆ Gompertz模型最初用于模拟人类死亡率，先验假设一个人的死亡抵抗力随着年龄的增长而降低。今天的应用实例包括精算科学和细菌生长曲线建模。
◆ 下渐近线为0，上渐近线为Y的最大值.
◆ 是广义Logistic函数的特例。其与Logistic函数的不同是S型两边不对称，拐点偏前。
方程：
3个参数：
◆ α=曲线中Y的最大值
◆ β=生长速度b
◆ γ=生长速率c
对应的PML代码：
3. Weibull模型和方程
特点：
◆ 累积Weibull模型也称为“拉伸指数”函数。 它添加了一个参数delta，允许修改拐点。
◆ 上渐近线是Y的最大值，下渐近线可以是非零。
◆ 应用：通常用于在固体剂型溶解期间模拟粒度。
方程：
4个参数：
◆ α = 曲线中Y的最大值 (上部渐近线)
◆ β = 下渐近线
◆ γ = 控制拐点的 x 值
◆ δ = 曲线的陡峭度
对应的PML代码：
4.Richards模型和方程
特点：
◆ Richards模型对非对称S型曲线建模具有很强的灵活性。它还使用增量参数修改拐点。
◆ 上渐近线是最大 Y, 下渐近线可以是非零。
◆ 应用: 增长率曲线
方程：
4个参数：
◆ α = 曲线的最大 Y 值 (上部渐近线)
◆ β = 生长速率
◆ γ = x 轴上的拐点
◆ δ = 控制拐点的 x 值
对应的PML代码：
5.Morgan-Mercer Flodin模型和方程
特点：
◆ Morgan-Mercer-Flodin模型首先用于模拟生物效率，例如对营养素存在的反应。允许不对称增长（即拐点不一定是1/2最大的）。
◆ 上渐近线是最大Y，下渐近线可以是非零。
◆ 应用：增长率曲线
方程：
4个参数：
◆ α=曲线的最大Y值（上渐近线）
◆ β=增长率
◆ γ=增长率
◆ δ=控制拐点的x值
对应的PML代码：
6.Hill模型和方程
特点：
◆ Hill模型最初用于描述氧与血红蛋白结合的动力学。它现在被广泛用于模拟药效学。使用诸如Emax和EC50之类的参数名称，这是经典的sigmoid Emax模型。
◆ 指数gamma可用于修改拐点。 E0的加法允许Y截距为非零。
◆ 上渐近线是最大Y，下渐近线可以是非零。
方程：
4个参数：
◆ α=下渐近线（E0）
◆ β=上渐近线（Emax）
◆ γ=拐点的x值（EC50）
◆ δ=指数控制曲线的陡度（n）
对应的PML代码：
3个参数：
◆ α
对应的Phoenix Model中的内置模型：
带有基线的S型Emax模型
对应的使用药效学参数命名的PML代码：
使用药效学Emax模型参数估算初值估算技巧估算当前Hill方程参数初值：
E0 = 1，来自X = 0处的探索图
Emax = 20，来自X = 20的探索图
EC50 = 10，来自½Emax
N =指数任意设定为1（来自简化模型）
结果：
所有模型的观察和预测(水分含量)对距离图：
模型参数估计值（Theta）表格比较：
信息判据（Overall）表格比较：
参考文献：
Gabrielsson、药动学和药效学数据分析：概念和应用, 第五版,(2015)，PD11案例。
